Teorema de Rotación de ejes coordenados

Teorema de Rotación de ejes coordenados

Para simplificar las ecuaciones por rotación de ejes coordenados, necesitamos el siguiente Teorema:

Teorema 2      Si los ejes coordenados giran un ángulo f en torno de su origen como centro de rotación, y las coordenadas de un punto cualquiera P antes y después de la rotación son (X , Y) y (X´, Y´), respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema original al nuevo sistema de coordenadas están dadas por

                       X= X´cos & - Y´sen &
                       Y = X´sen & + Y´cos &
Demostración: Sean en la figura X y Y los ejes originales y X´y Y´los nuevos ejes. Desde el punto P tracemos la ordenada AP correspondiente al sistema X,Y , la ordenada A´P correspondiente al sistema X´, Y´y la recta 0P . Sea el ángulo P0A´= f y 0P =r Por trigonometría tenemos
                              X = 0A = r cos (&+f)                             (1)
                              Y = AP =r sen (& + f)                            (2)
                              X´= 0A´= r cos f,  Y´= A´P = r sen &    (3)
tenemos que

               X= r cos (& +f) = r cos & cos f - r sen & sen f
Si en esta última ecuación sustituimos los valores dados por (3)
obtenemos la primera ecuación de transformación,
                     X 0 X´cos & - sen &
análogamente, de (2)

               Y 0 sen (& + f) = r sen & cos f + r cos & sen f
por lo tanto, de (3) tenemos la segunda ecuación de transformación
                      Y 0 X´sen & + Y´cos &

Área de los arcos

Área de los arcos

Teorema de traslación de ejes coordenados

Teorema

Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen (y(h,k) y si las coordenadas de cualquier punto P antes y después de la traslación son (x,y) y (x´, y´), respectivamente, las ecuaciones de traslación del sistema primitivo al nuevo sistema de coordenadas son:

Demostración: Sean como la figura X e Y los ejes primitivos y X´e Y´los nuevos ejes, y sean (h, k) las coordenadas del nuevo origen 0´con referencia al sistema original. Desde el punto P, trazamos perpendiculares a ambos sistemas de ejes, y prolongamos los nuevos ejes hasta que corten a los originales, tal como se ve en la figura. Usando la relación fundamental para segmentos rectilíneos dirigidos, dada tenemos, inmediatamente que

                               x = OD = 0A + AD = 0A + 0´C = h +X´

análogamente

                              Y= 0F  =  0B + BF  = 0B + 0´F =  k + Y´

TEOREMA DE PITÁGORAS

TEOREMA DE PITÁGORAS

Este teorema puede demostrarse como una consecuencia de la propiedad de los catetos, que se ha demostrado para el triángulo rectángulo.

En efecto para cada cateto B y C se verifica:

A  =  B             A.B´  = B 2
B      B´ 

A    =  C           A.C´  =  C2

                                                                 2              2
sumando:   A. B´ + A . C´)  = B   +   C     


                                                                                 2               2
A es factor común  A ( B´ +  C´ =  B    +   C 

                                              2         2 
y B´ +  C´ =     A. A   =    B  +  C

                                             2           2
entonces          A.A    =    B  +   C

                              2               2             2
Por lo tanto        A     =    B    +  C

Que enunciamos:

EN TODO TRIÁNGULO RECTÁNGULO EL CUADRADO DE LA HIPOTENUSA ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS

Teorema 1 simetría de la curva, teorema 2

Teorema 1 simetría de la curva

Si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable y es reemplazada por - y, la curva es simétrica con respecto al eje X

Teorema 2

Si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable x es reemplazada por  -x, la curva es simétrica con respecto al eje y , y recíprocamente.

Formula del volumen del cilindro

Cuerpos: La Esfera

Formula de volumen de la esfera