Teorema de Rotación de ejes coordenados
Para simplificar las ecuaciones por rotación de ejes coordenados, necesitamos el siguiente Teorema:
Teorema 2 Si los ejes coordenados giran un ángulo f en torno de su origen como centro de rotación, y las coordenadas de un punto cualquiera P antes y después de la rotación son (X , Y) y (X´, Y´), respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema original al nuevo sistema de coordenadas están dadas por
X= X´cos & - Y´sen &
Y = X´sen & + Y´cos &
Demostración: Sean en la figura X y Y los ejes originales y X´y Y´los nuevos ejes. Desde el punto P tracemos la ordenada AP correspondiente al sistema X,Y , la ordenada A´P correspondiente al sistema X´, Y´y la recta 0P . Sea el ángulo P0A´= f y 0P =r Por trigonometría tenemos
X = 0A = r cos (&+f) (1)
Y = AP =r sen (& + f) (2)
X´= 0A´= r cos f, Y´= A´P = r sen & (3)
tenemos que
X= r cos (& +f) = r cos & cos f - r sen & sen f
Si en esta última ecuación sustituimos los valores dados por (3)
obtenemos la primera ecuación de transformación,
X 0 X´cos & - sen &
análogamente, de (2)
Y 0 sen (& + f) = r sen & cos f + r cos & sen f
por lo tanto, de (3) tenemos la segunda ecuación de transformación
Y 0 X´sen & + Y´cos &