Teorema de traslación de ejes coordenados

Teorema

Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen (y(h,k) y si las coordenadas de cualquier punto P antes y después de la traslación son (x,y) y (x´, y´), respectivamente, las ecuaciones de traslación del sistema primitivo al nuevo sistema de coordenadas son:

Demostración: Sean como la figura X e Y los ejes primitivos y X´e Y´los nuevos ejes, y sean (h, k) las coordenadas del nuevo origen 0´con referencia al sistema original. Desde el punto P, trazamos perpendiculares a ambos sistemas de ejes, y prolongamos los nuevos ejes hasta que corten a los originales, tal como se ve en la figura. Usando la relación fundamental para segmentos rectilíneos dirigidos, dada tenemos, inmediatamente que

                               x = OD = 0A + AD = 0A + 0´C = h +X´

análogamente

                              Y= 0F  =  0B + BF  = 0B + 0´F =  k + Y´

TEOREMA DE PITÁGORAS

TEOREMA DE PITÁGORAS

Este teorema puede demostrarse como una consecuencia de la propiedad de los catetos, que se ha demostrado para el triángulo rectángulo.

En efecto para cada cateto B y C se verifica:

A  =  B             A.B´  = B 2
B      B´ 

A    =  C           A.C´  =  C2

                                                                 2              2
sumando:   A. B´ + A . C´)  = B   +   C     


                                                                                 2               2
A es factor común  A ( B´ +  C´ =  B    +   C 

                                              2         2 
y B´ +  C´ =     A. A   =    B  +  C

                                             2           2
entonces          A.A    =    B  +   C

                              2               2             2
Por lo tanto        A     =    B    +  C

Que enunciamos:

EN TODO TRIÁNGULO RECTÁNGULO EL CUADRADO DE LA HIPOTENUSA ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS