Teorema de Rotación de ejes coordenados

Teorema de Rotación de ejes coordenados

Para simplificar las ecuaciones por rotación de ejes coordenados, necesitamos el siguiente Teorema:

Teorema 2      Si los ejes coordenados giran un ángulo f en torno de su origen como centro de rotación, y las coordenadas de un punto cualquiera P antes y después de la rotación son (X , Y) y (X´, Y´), respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema original al nuevo sistema de coordenadas están dadas por

                       X= X´cos & - Y´sen &
                       Y = X´sen & + Y´cos &
Demostración: Sean en la figura X y Y los ejes originales y X´y Y´los nuevos ejes. Desde el punto P tracemos la ordenada AP correspondiente al sistema X,Y , la ordenada A´P correspondiente al sistema X´, Y´y la recta 0P . Sea el ángulo P0A´= f y 0P =r Por trigonometría tenemos
                              X = 0A = r cos (&+f)                             (1)
                              Y = AP =r sen (& + f)                            (2)
                              X´= 0A´= r cos f,  Y´= A´P = r sen &    (3)
tenemos que

               X= r cos (& +f) = r cos & cos f - r sen & sen f
Si en esta última ecuación sustituimos los valores dados por (3)
obtenemos la primera ecuación de transformación,
                     X 0 X´cos & - sen &
análogamente, de (2)

               Y 0 sen (& + f) = r sen & cos f + r cos & sen f
por lo tanto, de (3) tenemos la segunda ecuación de transformación
                      Y 0 X´sen & + Y´cos &

Área de los arcos

Área de los arcos

Teorema de traslación de ejes coordenados

Teorema

Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen (y(h,k) y si las coordenadas de cualquier punto P antes y después de la traslación son (x,y) y (x´, y´), respectivamente, las ecuaciones de traslación del sistema primitivo al nuevo sistema de coordenadas son:

Demostración: Sean como la figura X e Y los ejes primitivos y X´e Y´los nuevos ejes, y sean (h, k) las coordenadas del nuevo origen 0´con referencia al sistema original. Desde el punto P, trazamos perpendiculares a ambos sistemas de ejes, y prolongamos los nuevos ejes hasta que corten a los originales, tal como se ve en la figura. Usando la relación fundamental para segmentos rectilíneos dirigidos, dada tenemos, inmediatamente que

                               x = OD = 0A + AD = 0A + 0´C = h +X´

análogamente

                              Y= 0F  =  0B + BF  = 0B + 0´F =  k + Y´